【質問1について】
まず亡母の相続人を調査する必要があります。ケースによっては多数に及ぶ可能性もあります。
債務者本人も相続人である可能性も高いです。
債務者本人の持分2分の1を競落したとしても，残りの持分2分の1の相続人は共有者です。共有者の了承のもとで債務者本人やその妻が住んでいる分には，共有者の意思に基づく占有として，適法な占有となります。
また，債務者本人と妻との間で使用貸借関係があると認定されたり，残りの持分2分の1の相続人と債務者の妻との間で使用貸借関係があると認定される可能性もあります。使用貸借関係があると知りながら建物の所有権を取得して明渡しを求めた場合，権利濫用と判断されて明渡しが認められないこともあります。
債務者本人の持分2分の1を競落しただけでは，債務者本人や妻を立退きさせることは難しいですし，交渉等によって，その後，残りの持分2分の1を取得できたとしても，確実に債務者本人や妻を立退きさせることができるかというと，そこにはリスクがあります。

【質問2について】
持分1／2の競落後，交渉で残り持分1／2が取得できない場合には，共有物分割請求の裁判を起こして，競売の判決を求めつつ，その裁判の中で持分1／2の買取り又はこちらの持分1／2を買い取ってもらう和解交渉をするというのが通常かと思います。