一般に、業者による点検は、対象となる部分に問題があるかどうかを確認し、問題があった場合には問題解決のための修理等の必要な対応をすることが求められていると思われます。
本件では、「浴室乾燥機に問題はない」ということを確認できており、これによってご質問者様と業者との間の契約において業者がなすべき債務は履行されているといえるでしょう。
したがって、業者の対応に契約上問題はなく、ご質問者様は点検費用として1万円のお支払をする必要があると考えられます。

再度ご質問いただきありがとうございます。また、最初の回答で疑問を解消できず、お手数をかけてしまい大変失礼いたしました。

＜点検費用の負担者＞
ご質問者様と大家さんとの間の賃貸借契約中に特約があるかを確認する必要がございます。点検費用の負担者につき特約がある場合は、その特約に定められた者が費用を負担することになるでしょう。
特約がない場合は、「必要費」や「有益費」にあたると主張して、大家さんに支払いを求めることが考えられますが、浴室乾燥機の点検費用がいずれかにあたるといえるかはかなり微妙なところです（特に本件では「問題ない」と判断されているため、点検を行う必要がなかったと評価されてしまう可能性もあります）。

＜修繕義務＞
浴室乾燥機に問題がある場合は、修繕を求めることができます。
ここで注意していただきたいのは、浴室乾燥機に故障等があり修繕が必要な程の問題があるといえることが修繕を求めるための大前提となっていることです。
ご質問者様のお話には私も大変共感いたしますが、本件では専門家の業者によって「問題ない」との一応の判断がされているため、事実上、修繕を求めることは難しいように思われます。
もっとも、大家さんに任意の協力を仰ぐことはできますし、大家さんとしても自身の物件の問題は解決したいと考えているはずですから、話し合いの場を設けて今後の対応につき協議することは、本件の解決手段のひとつになり得ると考えられます。