法的には、木の枝や根が越境した場合には越境を解消する必要があるほかは、受忍限度を超える迷惑な行為(大量の落ち葉や花粉など)がある場合に損害賠償義務が生じる可能性があるというあたりかと思います。

・ツルが伸びてくるという隣家の主張ですが、これもこちらに解消の義務があると考えるべきでしょうか？

→越境している場合には解消の義務がありますが、そうでなければ義務はないでしょう。

・もし解消する手段を講じない場合はどうなってしまいますか？損害賠償の可能性がありますか？

→越境解消の義務がない場合には損害賠償の義務もありません。

＞受忍限度を超える迷惑な行為(大量の落ち葉や花粉など)がある場合に損害賠償義務が生じる可能性がある

・受忍限度を超える迷惑な行為とはどの程度の被害を与えた場合を想定すればよいでしょうか？

→最終的には裁判所の判断になりますが、社会通念上、よっぽどひどい場合、ということになります。

一般人を基準として、我慢できる限度を超えている場合、という言い方もできます。

・裏に雑木林もあり花粉が飛びやすそうな場所ではあります。因果関係が不確かなように思えるのですが、この点は私の責任の度合いに影響を及ぼしますか？

→損害賠償等を請求するには、隣家の側で、受忍限度を超えた迷惑行為や因果関係について立証する必要があります。その立証のハードルは高いものがあります。そのため、ご相談者様の賠償責任が裁判所で認められる可能性は、（具体的状況にもよりますがおそらくは）現実的にはあまり高くないと思われます。